美国土木工程师学会于1951年发表了名为《水库的长期库容量》的短论文。 那时，旋风计算机项目才刚刚开始，杰伊福林也还没有开始研究经济的稳定性问题。 那篇短文的作者是水文学家he harst，他自1907年以来一直为尼罗河大坝项目工作。 从本文的标题来看，福林特后来发展的经济周期模式应该没有任何关系，但实际上有联系。 赫斯特的最初目的是找到计算水库库容量的方法。 但是，水库系统发生的事情和我们面临的经济中的库存量问题之间有着有趣的相似性，就像森林的游戏一样。
赫斯特的问题实际上并不简单。 最重要的是预测流域内各河流和各湖泊放水量的自然变动情况。 很明显，这里有降雨量、径流量、支流来水量等很多统计问题。 赫斯特提到了1904年以来的漏水，他怎么能确信这种有限时间段的情况能代表未来呢？ 水库决口的话，会发生什么样的灾害呢？
肥尾问题
很多具备统计学基础知识的人可能从一开始就面临着这样简单的问题：
自然现象一般符合高斯分布——，即所谓的钟形曲线分布。 排水量也一定符合该分布，目前有超过40年的观测值，可以很容易地计算出其平均值和标准偏差。 将这些参数代入高斯分布方程，可以计算超过临界水平的波动的可能性。
解决方案如此干净易懂。 但是赫斯特知道有问题。 许多自然现象与高斯分布相比，是因为存在着比预期更高的“肥尾”。 这意味着有出现极端结果的倾向。
赫斯特相信自然系统一般有三个特点。 第一，有正反馈。 从这个意义上来说，任何初期的随机事件都有“自我扩大”的倾向。 这可以解释事件走向极端后果的问题。 第二，存在意外成分。 第三，存在阻断趋势演变的“断路器”。 他发明了一种简单的纸牌游戏来演示这种行为，该游戏的结果表明肥尾问题确实存在。 后来，他决定发明一种验证具有这种行为的系统的数学方法。 他把这种方法称为“再标定域”分析。 他采用了三个基本变量和一个常数：
n、观测值的个数，例如天数、年数或其他。
r是所记录的n个观测值中最高值和最低值之间的距离(“域”)。
s、标准偏差，即各观测值与所有观测值的平均值之间的平均差。
a是表示所调查的自然事例的个体特征的常数。
然后，他介绍了以下关系式：
r/s=(an ) h
方程的“h”揭示了系统中存在的反馈现象。 的高斯分布的“h”值为0.5。 具有无限负反馈序列的“h”的值为0，而具有无限正反馈序列的“h”的值为1。 赫斯特用这种方法验证了许多自然系统的行为，发现许多“h”值高于0.5。 换言之，由于大多数自然系统具有较强的正向反馈过程，存在肥尾问题。
比诺曼德伯爵
另一位被肥尾问题困扰的科学家是韦诺曼德。 赫斯特身处埃及，在接近黄昏的斟酒、眺望开罗满是灰尘的街景时，曼德勒可能正前往位于美国约克镇高地的IBM公司高科技研究中心。 曼德勒参与了各种数学问题，发现了和赫斯特完全一样的问题。 令人惊讶的是，很多地方都存在肥尾现象。 哈佛大学亨德里克霍萨克的办公室黑板上就有这样的例子。 1960年，曼德勒应邀来这里发表演讲。 当他走进萨克的办公室时，他注意到黑板上画着两条带胖尾巴的钟形曲线。 霍萨克解释说，这个图形表示棉花价格变化的统计分布。
从某种意义上说，棉花可以作为理想的统计测试对象。 因为，它每天的价格数据是准确的，而且可追溯的历史很长。 曼德勒的演讲结束后离开的时候，霍萨克拿走了一个装着用来记载棉花数据的计算机卡的盒子。 后来，他从农业系获得了更多的数据。 这些数据包括1900年以来棉花的价格变化。 通过对这些数据的分析，他发现无论是每日数据还是每月数据都有肥尾分布的现象。
法老与经济周期
倒钩区分了两种动态性质：
“诺亚效应”或“无限弥散综合征”。 小的移动被暴力阻断，通过干扰引起不连续的跳跃。
“约瑟夫效应”或“h谱综合征”。 那正如赫斯特所解释的，是指价格沿着趋势移动的内在趋势。
他看到棉花价格波动反映了这两种效应，部分来自偶然，部分来自必然。 当经济系统被外在的、未预见的事件所摆布时，就会发生诺亚效应。 关于约瑟夫效应，用曼德勒的话来说，当“统计关系缓慢衰退”时，这种效应就会出现。 约瑟夫效应意味着，如果时间持续，每个观测值在统计上取决于迄今为止的一些观测值。 在选择这种动态性质的名字时，仍然有《圣经》给他带来了灵感：
“约瑟夫效应”这个术语当然来自《圣经》中7个丰年和7个灾年的故事。 法老很久以前一定很了解尼罗河水量每年的高低变化。 因此，其变化表现出较强的长期依赖性和类似经济周期的形态，但其中含有明显或隐含的正弦曲线成分。
计算机混乱
巴布并不是探索非线性行为的唯一科学家。 在麻省理工学院，气象学家爱德华洛伦兹在电子管计算机上编写了模拟天气预报的程序。 这台“皇家麦克比”计算机完成了链式计算这一所有计算机都非常擅长的工作。 首先，输入风速、气压、温度、湿度等每天天气状况的数据。 输入这些数据后，皇家麦克比将计算第二天的天气数据，并使用这些数据计算第三天的天气。 只要一分钟，皇家麦克比就能模拟24小时的天气变化。
1961年的一天，也就是同一个机构杰伊福林开始研究系统动力学五年后，洛伦兹看到了计算机模拟结果，后悔过早地中断了它。 于是他决定继续这个模拟。 为了检查并确认那是上次模拟的继续，需要稍微重复计算。 因此，他打印了数据，并小心翼翼地把每天的数据复制到计算机里。 然后，他让电脑开始模拟运算，自己下楼去喝咖啡。 一个小时后，他回到房间，发现了一件非常奇怪的事情。 两次计算的重复部分实际上并不像预想的那样重叠。 系统的各个部分是完全事先确定的。 输入的数据和方程式都由他自己控制，而且两次运算也完全一样。 但是，模拟结果出现了差异，一开始很小，后来变大了。 我在哪里弄错了？
问题是打印纸的尺寸。 这张纸上只能打印三位数。 因为没有空位，所以打印更多的位数。 他把只有三位小数的数字复制到了计算机程序中，但程序的运行实际上只有六个数据。 因此，重复部分的计算结果不同是因为初始数据是小数4位的数字。 他越想它，就越难以置信，显然不可能有长期的天气预报。 除非知道带有4位数以上的小数位的温度等气象数据。 如果一个地方某一天的温度是21.563，或者实际上是21.563975，就不足以了解长期的气象状况。 要想得到所有这样的数据，是覆盖世界的数据，是绝对不可能的。 没有考虑引起公众的关注，洛伦兹在《大气科学杂志》上发表了他的观察结果。 文章的主题是《确定性非周期流》。
如果有人读了这篇文章，他们就不会震惊。 在此后的10年中，被其他作者引用的次数不到10次。 但是，1972年，马里兰大学物理科学技术研究所的科学家看到这篇文章，非常兴奋。 他把文章复印一下发送给所有感兴趣的人。 有一天，他给在同一所设施工作的数学家詹姆斯约克发了一篇文章。 约克明白这一信息的重要价值：长期不可预测性可能是非线性系统的内在性质。 1975年，他发表了关于这个主题的论文。 这篇文章刊登在有名的《美国数学月刊》上。 主题是谁也不能忽视的《周期3意味着混沌》。
随后，人们用文章标题的最后一句话来表达确定但复杂莫测的现象。 用标准的统计方法验证系统的行为，显示出随机性，但实际上也有确定性——，所以没有无随机性的系统。 因此，通常用“确定性混沌”来描述。
蝴蝶效应
洛伦兹在1979年发表了名为《可预言：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？》的论文。 很明显，他也在向约克学习。 如果把读者作为衡量成功的标准，他这次成功了。 混沌这个概念流行起来，科学家们也开始研究无处不在的混沌现象。 洛伦兹的文章说明巴西蝴蝶可以在六个月后决定其他地方是否会发生龙卷风。 如果气象学家决定掌握这个世界的力量，把天气预报作为人类生活的主要目标，把气象站覆盖在整个地球表面，每隔一英尺就会安装一个小气象站，延伸到大气层之外——。 尽管如此，他们还是不能进行长期的天气预报。 数十亿个这样的气象站相继向巨大的中央计算机发送数据，即使这台计算机安装了完善的数学模拟软件，也无法进行长期预报。 蝴蝶在某两个测点之间轻轻飞舞，可能有微风吹过，但气象站无法充分准确记录——，未记录的空气运动的影响会通过前向反馈机制放大，以确定是否会产生龙卷风至此，洛伦兹的观点已经明确：反馈系统对初始条件非常敏感——这一性质后来被称为“蝴蝶效应”。
靠不住的东西
不仅是经济学和气候学，生态学的反馈系统也臭名昭著。 当罗伯特梅在1971年设计模拟鱼群数量的数学程序时，他遇到了奇怪的现象。 他设计的方程式是为了计算一个鱼群在不同的假设条件下会生长多少。 当他将所选参数值输入计算机时，模型模拟了鱼群生态系统的动态，并逐渐稳定，直到鱼群数量达到一定水平。 如果他改变了参数，它又会稳定在另一个新的均衡水平上。
其中一个变量是生育能力，鱼生孩子的能力。 生育力非常低，鱼群就会明显灭绝。 高生育力时，它达到不同的均衡点。 奇怪的是，如果他输入高生育能力数值，模拟结果找不到均衡点，鱼群数量处于无限波动状态，没有明显的模式。 导致这种混沌行为的一系列数学反馈可以用以下方程式表示：
x(n1 )=rX(n ) n ) )1-x(n ) )
这个方程式的式子很简单。 左边意味着“下一个x值”，该下一个x值通过右边的计算公式计算。 这是常数r乘以现在的x值，再乘以1减去现在的x值的差。 这种微小的(而且非常简单的)反馈机制在参数值低的情况下实现均衡，但在r值高的情况下会引起混沌。 这很有趣，不仅让人感到高兴，在模拟包括经济学在内的很多动态系统时也是一样的。 就像大DNA分子中的小基因一样，该算法隐藏在大模拟方程中。 除非用计算机对模拟的系统进行大量的因素分析，否则无法注意到其影响。 因此，正如查尔斯巴贝奇早就预言的那样，计算机真的给科学带来了革命。
周期同步
很多刚开始思考经济学问题的人当时并不是真正的经济学家。 魁奈和朱格拉两人是医生，萨伊、瓦尔拉斯和帕累托是工程师，纽科姆是数学家和天文学家。 现在，正是来自其他学科的人引起了混沌理论的研究。 突然发现，世界各地的物理学家和数学家们正在进行经济模拟。 哥本哈根也发生了这样的事情。 在埃里克莫斯基的领导下，有一个小组正在探索改善森林经济周期模型。 他们想探讨周期同步性是否可能引发大萧条，就像熊彼得和福林指出的那样。 请考虑一下这种情况。 如果有一些周期现象的话，就不能像熊彼特在1935年画的图形那样，把生产总值看成是单一振动运动的总和。 结果比这复杂得多，因为每个周期现象都可能与其他周期现象相互影响和干扰。 他们决定用康德拉季耶夫周期模型分别受到基钦和库兹涅茨周期振荡的情况来验证这一假设。 图16-1显示了他们的康德拉切夫模式发生了什么变化。
图16-1康德拉季耶夫周期的模拟
结果表明，他们的康德拉季耶夫周期模型平均长度为47年，图中三条曲线分别表示产能、产量和订单，其中订单最先变，其次是产量，最后是产能。 该模型通过资本货物部门自身订单(资本货物生产部门自身订单资本货物，但存在时滞)体现了经济系统内在的不稳定性。
这些研究人员目前还在继续建立用于模拟库兹涅茨周期的模型，结果表明周期长度为22.2年。 如果把库兹涅茨周期与康德拉季耶夫周期重叠，会怎么样？ 他们进行实验后发现，康德拉季耶夫周期的长度自动增长约40%，每个康德拉季耶夫周期与三个库兹涅茨周期同步(见图16-2 )。
他们还制作了模拟甲壳素周期的模型，计算机给出了其周期长度的计算结果是在4.6年。 他们再次将甲壳素周期叠加在坎德拉切夫周期上进行实验，结果表明，每个坎德拉切夫周期自动与10个甲壳素周期同步。 他们只要将固有的甲壳素周期长度设定在4.47~4.7年之间，就可以完全保持这个结果。 但是，甲壳素周期长度超过这个区间的话，同步性就会变得更加复杂。 他们还证明了这个同步过程对振幅很敏感。 图16-3表示将甲壳素周期长度维持在4.6年时的同步状况。
图16-2康德拉季耶夫周期和库兹涅茨周期之间的自动同步模拟。 该模拟由图16-1的康德拉季耶夫周期模型和设定时间为22.2年(几乎相当于典型的库兹涅茨周期长度)的外部正弦曲线振动合成。
图16-3康德拉季耶夫周期与基钦周期之间的自动同步仿真
图16-4康德拉切夫与外部周期同步的拓扑空间。 用图形表示不同振幅和期间的周期重叠时，康德拉季耶夫模型如何反应。
在他们的实验中，图16-4所示的情况看起来与引入混沌理论之前进行的经济模拟完全不同(而且心理学测试——对作者来说就像长颈鹿被帆船包围着一样)。 这个图形实际上表示被称为“拓扑空间”的东西。 科学家们再次将他们的康德拉季耶夫模型按每次设定的周期振幅和期限叠加在其他周期上。 他们一次重复了很多次这样的实验，直到设定的振幅和期限覆盖很大范围。 这个图表的横轴表示周期的期间(0到60年)，纵轴表示振幅。 图形中的所有点都是完全模拟的结果，阴影区域表示康德拉季耶夫模型与外部周期同步时的耦合，白色区域表示混沌时的耦合。 每个阴影上的比率是康德拉季耶夫每个周期出现的外部周期数。
图16-5周期同步性的费根鲍姆瀑布
看看最后的图形吧。 请参见图16-5。 这是所有图形中最奇怪的一张。 这展示了多次计算的结果。 其中，在各实验中，重合的外部周期长达19.6年，但每次计算的振幅(横轴)略有变化。 此图纵轴刻度是通过实验发现的资本形成的最大值。 图形显示了如何从单一的答案发展到两个、四个、八个等答案，最终出现了混沌。
混沌的主要含义
混沌理论帮助我们理解非线性系统是如何工作的。 它启发了我们在科学、工程、软件编程等许多方面开发新工具。 这种系统最重要的特征是：
对初始条件极为敏感(爱德华洛伦兹的“蝴蝶效应”)。 这意味着长期预测存在很大障碍。
自相似性(曼德勒“肥尾”在不同的尺度范围内)。 虽然模型在各个比例范围内趋于相似，但它们永远不会自我复制到完全相同的微小模型中。
在一些参数间隔中存在多个吸引因素。 在特定的时间内，系统可能容易有一些稳定的解决方案，但随机冲击可能会从一个稳定位置挤出到另一个稳定位置。
混沌理论家的工作使我们对某些经济和金融系统的性质有了基本的了解，也使我们更容易确定哪些实用的预测工具在各种情况下有效。 对于经济学的其他基本数学方法，统计学、计量经济学、神经网络、人工智能等系统动力学尤为重要。 想象一下，可能有人在使用设定的长期预测计量模型。 现在，用混沌理论的工具来验证一下这个计量模型在政策空间内的行为，也许会出现混沌。 在这种情况下，我们的结论可能是模型总体上不正确，或者无法用它来预测这个系统。 或者，它可能表明系统只能在特定边界内预测。 系统动力学可以让我们对需要处理的问题有更好的感觉。
很难相信混乱的这种意思。 因此，当萨缪尔森在1939年揭开非线性动力学领域的面纱时，他无法预测。 当人们在进行狂乱的投机时，他不知道人们心里在想什么。 这个问题留在下一章讨论。
要更好地了解经济，就需要使用综合分析工具。 下表简要介绍了最重要的数量分析工具。
