在量子力学中，物理系统所处状态用一个波函数ψ表示。
ψ一般是个复数函数，我们可以把它写为绝对值和相位因子乘积的形式。
现在考虑两个波函数ψ1和ψ2，它们可以加起来：
ψ=ψ1+ψ2
这里ψ就是一个叠加态。
根据量子力学，ψ1表示物理系统所处的一个可能的状态，ψ2表示另一个可能的状态，它们的叠加ψ也是一个可能的状态。
比如在双缝干涉这个例子里，ψ1可以表示上缝波函数（打开上缝、挡住下缝），ψ2表示下缝波函数（挡住上缝、打开下缝），ψ对应两个缝都打开。
由于波函数是个复数函数，我们可以把相位明白地写出来，现在ψ可表示为：
如果相位差θ1-θ2保持固定，ψ就是相干地叠加，相应地我们会在双缝后面看到干涉条纹。但如果相位差不固定，一会儿一变、一会儿一变，我们就观察不到干涉条纹，对应的ψ就是非相干叠加。
ψ1、ψ2，以及ψ1和ψ2相干地叠加对应的是纯态。因为它们代表的都是物理系统的一个量子态。
我们有时也说我们研究的物理系统可能不仅仅对应一个状态，而是可能对应几个状态（典型的例子是统计物理）。比如两个状态ψ1和ψ2，我们说我们想研究ψ1和ψ2的等比例混合，这就是所谓混合态，对应两个波函数的非相干叠加。
我们应该如何用数学来表示混合态呢？
我们从上面波函数叠加的表达式出发。并改写为如下方便讨论的形式：
这里相位差θ是个随机数，在0到2π之间随机取值，为了书写方便c1和c2都是实数。
计算力学量A的期望值：
这里c.c.表示复共轭，e指数部分因为相位是完全随机的平均为0，因此：
这里c1的平方对应物理系统处于ψ1的概率，而c2的平方对应物理系统处于ψ2的概率。
混合态一般用密度算符来表示。比如系统处在ψ1的几率是w1，处在ψ2的几率是w2，……
密度算符可表达为：
物理量的平均值可改写为：[A]=Tr ρA
现在讲讲纠缠态。纠缠态涉及两个对象（或多个对象），比如两个自旋。每个自旋都有两种状态，向上（+）和向下（-）。
考虑两个自旋都是向上的，我们用量子态|++》表示。类似地，两个自旋都是向下的，用|--》表示，这样的量子态就是非纠缠的态。因为我们可以说第一个自旋是向上的，第二个自旋是向下的……这样的陈述是成立的。
但有些量子态，我们没法说第一个自旋到底是向上还是向下的，我们只能说有两个自旋，如果第一个自旋向上的话，第二个自旋就向下；相反，如果第一个自旋向下的话，那么第二个自旋就向上。这样的量子态就叫纠缠态（这个名字还是挺形象的）。
对两个自旋组成的系统，纠缠态的例子如下：
它们是两个量子态|+-》和|-+》相干的叠加。如果|+-》和|-+》之间失去相干性，纠缠就解开了。
最后讲讲相干态（coherent state），相干态指的是量子线性谐振子系统以特定的方式相干地叠加起来形成的一种具有特殊性质的量子态，其动力学行为和经典力学中的谐振子很像。
